Понимаю Вашу тревогу, ситуация правда неприятная, но по описанию риск того, что в уретре “остался кусок таблетки” и теперь там лежит как инородное тело - невысокий. Вагинальная таблетка при контакте с влажной средой довольно быстро размокает и крошится, а уретра короткая, и обычно все, что туда попадает в виде крошек или порошка, либо выходит наружу, либо вымывается мочой. А вот жжение и болезненность после такого вполне возможны - это похоже на раздражение слизистой уретры (химическое/механическое), и на фоне тревоги ощущения часто “усиливаются” и начинают казаться чем-то вроде “выпирает/опустилось”.

Если Вы мочитесь как обычно, струя не ослабла, задержки мочи нет, крови в моче нет и температура нормальная - чаще всего достаточно наблюдения 1-3 дня, пить обычный объем воды и не “проверять” уретру пальцем/никакими предметами. Жжение может потихоньку уйти само. 
Клиндацин дальше используйте только вагинально, как назначил гинеколог. Если при правильном введении будет усиливаться именно уретральное жжение или появятся частые позывы, тогда лучше отдельно обсудить это и с гинекологом, и с урологом.

Из анализов самое полезное в такой ситуации - общий анализ мочи (желательно свежая утренняя средняя порция) и, если в общем анализе будут признаки воспаления, посев мочи на флору с чувствительностью к антибиотикам. 
Из обследований по необходимости - УЗИ мочевого пузыря с оценкой остаточной мочи после мочеиспускания (это простой способ убедиться, что все опорожняется нормально). 
Цистоскопия/уретроскопия обычно не нужна “на всякий случай”, ее имеет смысл обсуждать только если сохраняются выраженные симптомы, появляется кровь в моче, затруднение мочеиспускания или по анализам стойкое воспаление, которое не объясняется иначе.

Если появится невозможность помочиться, заметная кровь в моче, нарастающая боль внизу живота/в уретре, температура, озноб, резкое учащение позывов с очень малым объемом мочи - это повод не переписываться, а обратиться очно к урологу в ближайшее время, а при тяжелом состоянии - вызвать скорую помощь.

Чтобы я точнее сориентировал Вас дистанционно, напишите, пожалуйста: сколько времени прошло с эпизода, есть ли рези именно в начале мочеиспускания или в конце, нет ли частых позывов, не было ли крови даже “ниточки” на бумаге, и есть ли сейчас ощущение, что струя стала слабее. Если есть возможность, приложите фото результатов последних анализов мочи (если они делались раньше) и что именно гинеколог лечит Клиндацином.